Question

【题目】已知向量为正实数， .

(1)若，求的最大值；

(2)是否存在，使？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，使.

【解析】试题分析：（1）若⊥，则·＝0，即(－2t2－1)(－－)＋(t2＋3)(－＋)＝0，得k＝＝≤，从而得解；

（2）假设存在正实数k，t，使∥，则(－2t2－1)(－＋)－(t2＋3)(－－)＝0，整理得t3＋t＋k＝0，从而得解.

试题解析：

＝(1,2)＋(t2＋1)(－2,1)＝(－2t2－1，t2＋3)， ＝(－－，－ ＋)．

(1)若⊥，则·＝0，即(－2t2－1)(－－)＋(t2＋3)(－＋)＝0，

整理得，k＝＝≤，当且仅当，即t＝1时取等号，∴kmax＝.

(2)假设存在正实数k，t，使∥，则(－2t2－1)(－＋)－(t2＋3)(－－)＝0，化简得＝0，即t3＋t＋k＝0.

因为k，t是正实数，故满足上式的k，t不存在，所以不存在k，t，使∥.