Question

8、在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为

45°

．

Answer 1

分析：折叠问题要注意变与不变，观察图形将AC的长度用已知的量AB，AD，θ的三角函数表示出来．再根据其形式来进行运算求值．

解答：解：过A作AH⊥BP于H，连CH，∴AH⊥平面BCDP．
∴在Rt△ABH中，AH=3sinθ，BH=3cosθ．
在△BHC中，CH²=（3cosθ）²+4²-2×4×3cosθ×cos（90°-θ），
∴在Rt△ACH中，
AC²=25-12sin2θ，
∴θ=45°时，AC长最小．
答案：45°

点评：考查折叠问题与面面垂直的性质，此类题一般要求先通过图象进行细致分析，将求AC最值的问题转化为求相应函数的最值问题．本题与三角函数的结合，用三角的有界性求最佳，是其一亮点．