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    （11分）探究：是否存在常数a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)

    对对一切正自然数n均成立，若存在求出a、b、c，并证明；若不存在，请说明理由.

     

    【答案】

    设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有

    证明见解析。

    【解析】先令n=1,2,3建立关于a,b,c的三个方程，解出a,b,c的值.然后再证明时，也成立.由于是与n有关的证明问题，可以考虑用数学归纳法进行证明.

    设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有

    于是，对n=1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n(n+1)2=

    记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)

    那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)

    =［3(k+1)2+11(k+1)+10］也就是说，等式对n=k+1也成立.

    综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切正自然数n均成立.

     

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    f(x1)+f(x2)2
    =M    ，则称M为函数y=f （x）的“均值”．
    （1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；
    （2）若函数f（x）=ax2-2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；
    （3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．

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    对于函数f（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式f（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数f（x），g（x）的分界线．已知函数f（x）=ex（ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）．
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    （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
    （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
    		2
    2
    ，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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