Question

5．在y=2^x，y=log₂x，y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$这三个函数中，当0＜x₁＜x₂＜1时，使f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$恒成立的函数的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 分别计算f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，利用基本不等式的性质即可判断出大小关系．

解答 解：0＜x₁＜x₂＜1时，使f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$恒成立，
则函数图象在（0，1）上是下凹的．
对于函数y=2^x，当0＜x₁＜x₂＜1时，使f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}$＞$\sqrt{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，
因此0＜x₁＜x₂＜1时，使f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$恒成立．
同理可得：y=log₂x，y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$这两个函数不成立．
综上可得：恒成立的函数的个数是1个．
故选：B．

点评 本题考查了恒成立问题等价转化方法、基本不等式的性质、指数与对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．