Question

10．已知函数f（x）的定义域为（-1，1），对任意x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（${\frac{x+y}{1+xy}}$）．
（1）验证函数f（x）=lg（$\frac{1-x}{1+x}$）是否满足这些条件；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（$\frac{a+b}{1+ab}$）=1，f（$\frac{a-b}{1-ab}$）=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的解析式，求出函数的定义域满足条件，进而根据对数的运算性质，计算f（x）+f（y）与f（$\frac{x+y}{1+xy}$）并进行比较，可得答案
（2）利用赋值法先求出f（0）=0，再证出f（x）+f（-x）=f（0）=0，从而得出函数f（x）在（-1，1）上是奇函数；
（3）（a）-f（b）=f（a）+f（-b）=f（$\frac{a-b}{1-ab}$）=2，f（a）+f（b）=f（$\frac{a+b}{1+ab}$）=1，解得即可．

解答 解：（1）$\frac{x+y}{1+xy}$＞0可得-1＜x＜1，其定义域为（-1，1），
又f（x）+f（y）=lg$\frac{1-x}{1+x}$+lg$\frac{1-y}{1+y}$=lg（$\frac{1-x}{1+x}$•g$\frac{1-y}{1+y}$）=lg$\frac{1-x-y+xy}{1+x+y+xy}$=lg$\frac{1-\frac{x+y}{1+xy}}{1+\frac{x+y}{1+xy}}$=f（${\frac{x+y}{1+xy}}$）．
函数f（x）=lg（$\frac{x+y}{1+xy}$）满足这些条件
（2）函数f（x）在（-1，1）上是奇函数．
证明：将x=0代入条件，得f（0）+f（y）=f（y），
∴f（0）=0
再令y=-x代入条件，得f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数，
（3）∵|a|＜1，|b|＜1，
∴f（a）-f（b）=f（a）+f（-b）=f（$\frac{a-b}{1-ab}$）=2，
f（a）+f（b）=f（$\frac{a+b}{1+ab}$）=1，
∴f（a）=$\frac{3}{2}$，f（b）=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性与函数的单调性，及对数函数的图象和性质，其中熟练掌握抽象函数的处理方式，将抽象问题具体化是解答的关键．