Question

2．已知函数f （x）=$\sqrt{lo{g}_{0.3}（4x-1）}$的定义域为A，m＞0，函数g（x）=4 ^x-1（0＜x≤m）的值域为B．
（1）当m=1时，求 （∁_R A）∩B；
（2）是否存在实数m，使得A=B？若存在，求出m的值； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定义域确定出A，进而求出A的补集，把m=1代入确定出x的范围，进而求出g（x）的值域，确定出B，找出A补集与B的交集即可；
（2）表示出g（x）的值域确定出B，根据A=B求出m的值即可．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4x-1＞0}\\{lo{g}_{0.3}（4x-1）≥0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{4}$＜x≤$\frac{1}{2}$，即A=（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，
∴∁_RA=（-∞，$\frac{1}{4}$]∪（$\frac{1}{2}$，+∞），
当m=1时，由0＜x≤1，得到$\frac{1}{4}$＜4^x-1≤1，即B=（$\frac{1}{4}$，1]，
则（∁_RA）∩B=（$\frac{1}{2}$，1]；
（2）由题意得：B=（$\frac{1}{4}$，4^m-1]，
若存在实数m，使A=B，则必有4^m-1=$\frac{1}{2}$，
解得：m=$\frac{1}{2}$，
则存在实数m=$\frac{1}{2}$，使得A=B．

点评 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．