Question

已知函数f(x)=lg(

1

x-1

-1)的定义域为集合A，g(x)=

-x2+4ax-3a

(a＞0)的定义域为集合B，集合C={x|2x2-6x+8＞1}
（1）若A∪B=B，求实数a的取值范围．
（2）如果若B则C为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：此题考查函数的定义域，涉及到解对数不等式、指数不等式、以及集合的包含关系、命题等问题

解答：解：（1）∵函数f(x)=lg(

1

x-1

-1)的定义域为集合A
∴

1

x-1

-1＞0，
即集合A={x|1＜x＜2}
∵g(x)=

-x2+4ax-3a

(a＞0)的定义域为集合B
∴-x²+4ax-3a≥0，
即B=x|a≤x≤3a}
因为A∪B=B，所以A⊆B所以

a≤1 3a≥2

⇒

2

3

≤a≤1…（6分）
∵集合C={x|2x2-6x+8＞1}
∴x²-6x+8＞0，即C={x|x＜2或x＞4}
若B则A为真命题，则B⊆C，
所以

a＞0 3a＜2

或a＞4
所以a的取值范围是0＜a＜

2

3

或a＞4…（12分）

点评：此题注重了命题与集合的关系，学生应能正确断定若B则C为真命题意味着B⊆C．