Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁=1，

Sn+1

Sn

=

n+c

n

（c为常数，c≠1，n∈N⁺），且a₁，a₂，a₃成等差数列．
（1）求c的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}是首项为1，公比为c的等比数列，记hn=(-1)n-1anbn，求数列{h_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）由已知可求S₂，S₃，进而求出a₂，a₃，结合等差数列的性质可求
（2）由（1）可知

Sn+1

Sn

=

n+c

n

=

2+n

n

，利用叠乘法即可求解S_n，然后根据n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，n=1时，a₁=S₁，可求
（3）由题意可求h_n，结合数列的通项的特点考虑利用错位相减求解数列的和

解答：解：（1）∵S₁=1，

Sn+1

Sn

=

n+c

n

∴S₂=1+c，S₃=

(1+c)(2+c)

2

∴a₂=c，a₃=

c+c2

2

∵a₁，a₂，a₃成等差数列
∴2a₂=a₁+a₃
∴2c=1+

c+c2

2

解可得，c=1（舍）或c=2
（2）∴

Sn+1

Sn

=

n+c

n

=

2+n

n

∴

S2

S1

•

S3

S2

…

Sn

Sn-1

=

3

1

•

4

2

…

n+1

n-1

则

Sn

S1

=

n(n+1)

2

∴Sn=

1

2

n(n+1)
∵a₁=S₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n(n+1)-

1

2

n(n-1)=n
当n=1时，a₁=S₁=1也适合上式
故a_n=n
（3）由题意可得bn=2n-1，hn=(-1)n-1anbn=（-1）^n-1•n•2^n-1=n•（-2）^n-1
∴T_n=1•（-2）⁰+2•（-2）+…+n•（-2）^n-1
-2T_n=1•（-2）+2•（-2）²+…+（n-1）（-2）^n-1+n•（-2）ⁿ
两式相减可得，3T_n=1+（-2）+（-2）²+…+（-2）^n-1-n•（-2）ⁿ
=

1-(-2)n

1+2

-n•（-2）ⁿ
∴Tn=

1-(-2)n

9

-

n•(-2)n

3

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的 通项公式，等差数列的性质的应用及叠乘法的应用，还考查了错位相减求解数列的和，是数列知识的综合应用