Question

∫

1 0

（

1-(x-1)2

-2x）dx=

 

．

Answer 1

考点：定积分

专题：计算题,数形结合

分析：由差的积分等于积分的差得到

∫

1 0

（

1-(x-1)2

-2x）dx=

∫

1 0

（

1-(x-1)2

）dx-

∫

1 0

2xdx，然后由微积分基本定理求出

∫

1 0

（

1-(x-1)2

）dx，求出定积分

∫

1 0

2xdx，则答案可求．

解答： 解：

∫

1 0

（

1-(x-1)2

-2x）dx
=

∫

1 0

（

1-(x-1)2

）dx-

∫

1 0

2xdx．
令y=

1-(x-1)2

，则（x-1）²+y²=1（y≥0），
表示的是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆．
∴

∫

1 0

（

1-(x-1)2

）等于四分之一圆的面积，为

π

4

．
又

∫

1 0

2xdx=x2

|

1 0

=1．
∴

∫

1 0

（

1-(x-1)2

-2x）dx=

π

4

-1．
故答案为：

π

4

-1．

点评：本题考查了定积分，考查了微积分基本定理，是基础的计算题．