Question

设函数f（x）=

m

•

n

，其中向量

m

=（cosx，

3

cosx），

n

=（2cosx，2sinx）．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=2，a=

3

，b+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）把向量的坐标代入函数f（x）整理求得函数f（x）的解析式，进而利用正弦函数的性质求得其增区间．
（2）根据f（A）的值求得A，然后利用余弦定理求得bc的值，最后用三角形面积公式求得答案．

解答： 解：（1）∵

m

=(cosx，

3

cosx)，

n

=(2cosx，2sinx)，
∴f(x)=

m

•

n

=2cos2x+2

3

sinxcosx=1+cos2x+

3

sin2x=2(sin2x•

3

2

+cos2x•

1

2

)+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
∵当-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ时，
即kπ-

π

3

≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）时，函数f（x）单调增，
∴函数f（x）的单调增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)．
（2）由（1）得f(A)=2sin(2A+

π

6

)+1=2，
即sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

，
在△ABC中，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，
即3=9-2bc-bc，bc=2，
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生基础知识的综合运用．