Question

已知函数f（x）=x+

m

x

+2（m为实常数）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在x∈[

1

2

，1]有解，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意，任取x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，然后作差即可判断出实数m的取值范围；
（Ⅱ）不等式f（x）≤kx在x∈[

1

2

，1]有解可转化为x∈[

1

2

 ， 1]时，k≥

m

x2

+

2

x

+1有解，由此得k≥(

m

x2

+

2

x

+1)min，故问题转化为求(

m

x2

+

2

x

+1)min．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，任取x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x2)-f(x1)=x2+

m

x2

+2-(x1+

m

x1

+2)=(x2-x1)•

x1x2-m

x1x2

＞0，…（2分）
因为x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以x₁x₂-m＞0，即m＜x₁x₂，…（4分）
由x₂＞x₁≥2，得x₁x₂＞4，所以m≤4．所以，m的取值范围是（-∞，4]．…（6分）
（Ⅱ）由f（x）≤kx，得x+

m

x

+2≤kx，
因为x∈[

1

2

 ， 1]，所以k≥

m

x2

+

2

x

+1，…（7分）
令t=

1

x

，则t∈[1，2]，所以k≥mt²+2t+1，令g（t）=mt²+2t+1，t∈[1，2]，
于是，要使原不等式在x∈[

1

2

 ， 1]有解，当且仅当k≥g（t）_min（t∈[1，2]）． …（9分）
因为m＜0，所以g(t)=m(t+

1

m

)2+1-

1

m

图象开口向下，对称轴为直线t=-

1

m

＞0，
因为t∈[1，2]，故当0＜-

1

m

≤

3

2

，即m≤-

2

3

时，g（t）_min=g（2）=4m+5；
当-

1

m

＞

3

2

，即-

2

3

＜m＜0时，g（t）_min=g（1）=m+3．           …（13分）
综上，当m≤-

2

3

时，k∈[4m+5，+∞）；
当-

2

3

＜m＜0时，k∈[m+3，+∞）．     …（14分）

点评：本考查函数恒成立问题，函数的单调性的应用，函数单调性的定义应用，综合性强，考查了转化思想，分类讨论的思想