Question

已知函数f（x）=2

3

sinωxcosωx+2cos²ωx-1（ω＞0）的图象上的一个最低点为P，离P最近的两个最高点分别为M、N，且

PM

•

PN

=16-

π2

16

．
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（

A

2

）=1，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，根据题意设出P（x₀，-2），M（x₀-

T

2

，2），N（x₀+

T

2

，2），利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，求出T的值，即可确定出ω的值；
（2）由（1）确定出的f（x），根据f（

A

2

）=1求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，将a，cosA，b+c的值代入求出bc的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+

π

6

），
令P（x₀，-2），M（x₀-

T

2

，2），N（x₀+

T

2

，2），
∴

PM

•

PN

=-

T2

4

+16=16-

π2

16

，
∴T=

π

2

=

2π

2ω

，
则ω=2；
（2）∵f（

A

2

）=2sin（2A+

π

6

）=1，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
又a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
∵b+c=4，
∴bc=4，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．