Question

已知实数a＞0，命题p：?x∈R，|sinx|＞a有解； 命题q：?x∈[

π

4

，

3π

4

]，sin²x+asinx-1≥0．
（1）写出?q；        
（2）若p且q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,命题的否定

专题：简易逻辑

分析：（1）首先，命题p为特称命题，其否定为全称命题，直接结合含有一个量词的否定进行处理即可；
（2）先判断所给命题的真假，然后，根据“且”构成的复合命题的真假判断方法进行求解．

解答： 解：（1）∵命题q：?x∈[

π

4

，

3π

4

]，sin²x+asinx-1≥0，
∴￢q：?x∈[

π

4

，

3π

4

]，sin²x+asinx-1＜0．
（2）∵p且q为真，
∴p和q都为真，
∴命题p：?x∈R，|sinx|＞a有解为真命题，
则a∈（0，1），①
∵命题q：?x∈[

π

4

，

3π

4

]，sin²x+asinx-1≥0．
∴设t=sinx，则t∈[

2

2

，1]，
∴a≥

1

t

-t，
∵y=

1

t

-t为减函数，
所以当t=

2

2

时，y=

1

t

-t取得最大值为

2

2

，
∴a≥

2

2

，②
结合①②，得
a∈[

2

2

，1）．

点评：本题重点考查了简单命题的真假判断，复合命题的真值表应用，注意“且”的含义，理解全称命题和特称命题的否定方式和方法，属于中档题．