Question

已知0≤x≤2时，函数y=4x²-4ax+（a²-2a+2）有最小值3，求a的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：这是一个定区间、动函数的二次函数的最值问题，函数的二次项系数为4，图象是开口向上的抛物线，对称轴是x=

a

2

，需要按对称轴与定义域的关系进行分类讨论．

解答： 解：①当

a

2

≤0即a≤0时，函数y=4x²-4ax+（a²-2a+2）在[0，2]上是增函数，
所以ymin=a2-2a+2，
由a²-2a+2=3，解得a=1+

2

或a=1-

2

，
∵a≤0，∴a=1-

2

，
②当0＜

a

2

≤2时，即0＜a≤4时，函数y=4x²-4ax+（a²-2a+2）在[0，

a

2

]上是减函数，在[

a

2

，2]上是增函数，
所以ymin=4×(

a

2

)2-4a×

a

2

+a2-2a+2=-2a+2，
 由=-2a+2=3，解得a=-

1

2

，
∵0＜a≤4，∴a=-

1

2

 舍去； 
③当

a

2

＞2即a＞4时，函数y=4x²-4ax+（a²-2a+2）在[0，2]上是减函数，
所以ymin=4×2

2

-4a×2+a2-2a+2=a²-10a+18，
由a²-10a+18=3，解得a=5+

10

或a=5-

10

，
∵a＞4，∴a=5+

10

，
综上可知，a=1-

2

或a=5+

10

．

点评：本题考查二次函数的最值问题，考查了分类讨论和数形结合的数学思想．