Question

已知函数f（x）=3^x+2a-3（a是常数）
（Ⅰ）若函数f（x）所有的零点都是负数，求常数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）＜9^x对于一切实数x都成立，求常数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由函数解析式得到函数所对应的方程，变形后得到3^x=-2a+3，由指数函数在x＜0时的值域得到-2a+3的范围，从而求出a的范围；
（Ⅱ）把f（x）的解析式代入f（x）＜9^x，分离参数a后构造辅助函数g（x）=9^x-3^x+3，配方求出函数
g（x）的最小值，则常数a的取值范围可求．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=3^x+2a-3=0，得3^x=-2a+3，
∵y=3^x是单调函数且x∈（-∞，0）时有y∈（0，1），
∴要使函数f（x）所有的零点都是负数，
则0＜-2a+3＜1，解得：1＜a＜

3

2

．
∴常数a的取值范围是(1，

3

2

)；
（Ⅱ）f（x）＜9^x对于一切实数x都成立，
即3^x+2a-3-9^x＜0对于一切实数x恒成立，
可转化成2a＜9^x-3^x+3恒成立，
即2a＜（9^x-3^x+3）_min，
令g（x）=9^x-3^x+3，
则g（x）=9^x-3^x+3=（3^x-

1

2

）²+

11

4

，
∴g(x)min=

11

4

．
即2a＜

11

4

，a＜

11

8

．
∴常数a的取值范围是（-∞，

11

8

）．

点评：本题考查了函数的零点问题，考查了不等式的恒成立，训练了分离变量法，构造辅助函数并求其最小值是解答该题的关键，是中档题．