Question

单调递减的等比数列{a_n}中，a₄=

1

16

且

5

4

a₂是a₁，a₃的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由

5

4

a₂是a₁，a₃的等差中项先求得公比，再有a₄=

1

16

求得首项；
（Ⅱ）利用等差数列的求和公式写出前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得：

5

4

a2是a₁，a₃的等差中项，故a1+a3=2.5a2⇒a1+a1q2=2.5a1q
化简得到1+q2=2.5q⇒q=

1

2

或q=2(舍)，而a4=

1

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=a1q3⇒a1=

1

2

．
∴{a_n}的通项公式为an=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

(n∈N*)
（Ⅱ）由（I）得bn=log2an=log22-n=-n，
∴{b_n}是一个等差数列，
故Tn=

n(-1+-n)

2

=-

1

2

n2-

1

2

n．(n∈N*)．

点评：本题考查等比数列的通项公式及前n项和的公式及其应用，属于简单题．