Question

倾斜角为锐角的直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB且△OAB的面积为2

5

，则直线l方程为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用OA⊥OB垂直判断出二直线的斜率的乘积为-1求得x₁x₂=4，设出直线的方程与抛物线方程联立根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，然后利用配方法求得|x₁-x₂|，代入三角形面积公式求得答案．

解答： 解：设直线AB的方程为y=kx-m（k＞0），
设A（x₁，

2x1

），B（x₂，-

2x2

），
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂-2

x1x2

=0，
∴x₁x₂=4，
y=kx-m（k＞0），代入抛物线y²=2x
得k²x²-（2km+2）x+m²=0，
则x₁+x₂=

2m+2

k2

，x₁x₂=

m2

k2

，
∵x₁x₂=4，
∴m=2k
∴|x₁-x₂|=

(2m+2)2-4m2k2

k2

=

16k+4

k2

，
∵三角形的面积为S_△AOB=

1

2

|m||x₁-x₂|=k•

16k+4

k2

=2

5

，
∴k=1，
∴直线AB的方程为y=x-2，
故答案为：y=x-2．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．