Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y²=8x的焦点为F，椭圆Σ的中心在坐标原点，离心率e=

1

2

，且F是椭圆Σ的一个焦点．
（1）求椭圆Σ的标准方程；
（2）过F作垂直于x轴的直线，与椭圆Σ相交于A、B两点，试探究在椭圆Σ上是否存在点P，使△PAB为直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的标准方程即可得出焦点F，再利用椭圆的离心率计算公式及其b²=a²-c²即可；
（2）由（1）得：x=2时，y=±3，不妨设A（2，3）、B（2，-3），分类讨论：
①若∠PAB=

π

2

；②若∠PBA=

π

2

，③若∠APB=

π

2

，分别解出即可．

解答：解：（1）依题意，设椭圆Σ的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵2p=8，∴p=4，

p

2

=2，F（2，0），c=2．
∴e=

c

a

=

1

2

，∴a=4，b²=a²-c²=12，
所以椭圆Σ的标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）由（1）得：x=2时，y=±3，不妨设A（2，3）、B（2，-3），
①若∠PAB=

π

2

，则直线PA：y=3，解方程组

x2 16 + y2 12 =1 y=3

可得P₁（-2，3），
②若∠PBA=

π

2

，同理可得P₂（-2，-3）），
③若∠APB=

π

2

，设P（x，y）（x≠2且|x|≤4），
∵AB垂直于x轴，∴PA、PB与坐标轴不平行，
∵k_PA•k_PB=-1，∴（x-2）²+y²=9，
又

x2

16

+

y2

12

=1，消去变量y得x²-16x+28=0），解得x=2或x=14，
∵x≠2且|x|≤4，∴x=2或x=14均不满足要求，即椭圆Σ上不存在点P，使∠APB=

π

2

．
综上所述，点P的坐标为P₁（-2，3），P₂（-2，-3）．

点评：熟练掌握抛物线和椭圆的标准方程及其性质、分类讨论的思想方法等是解题的关键．