Question

已知数列{a_n}是首项为a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比数列，设b_n+2=3log

1

4

a_n（n∈N^*），数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）若c_n≤

1

4

m²+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意和等比数列的通项公式求出a_n，再由对数的运算性质求出b_n，根据等差数列的定义进行证明；
（2）由（1）和题意求出数列{c_n}的通项公式，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和；
（3）先化简c_n+1-c_n，再根据结果的符号与n的关系，判断出数列{c_n}的最大项，将恒成立问题转化为具体的不等式，再求出实数m的取值范围．

解答： 证明：（1）由题意得，a_n=

1

4

•(

1

4

)n-1=(

1

4

)n，
又b_n+2=3log

1

4

a_n（n∈N^*），则b_n+2=3log

1

4

(

1

4

)n=3n，
所以b_n=3n-2，即b_n+1-b_n=3，且b₁=1，
所以{b_n}是为1为首项，3为公差的等差数列；
解：（2）由（1）得，a_n=(

1

4

)n，b_n=3n-2
所以c_n=a_n•b_n=(3n-2)(

1

4

)n，
则S_n=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(3n-2)(

1

4

)n  ①，

1

4

S_n=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4+…+(3n-2)(

1

4

)n+1 ②，
①-②得，

3

4

S_n=

1

4

+3×[(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-(3n-2)(

1

4

)n+1
=

1

4

+3×

1 42 [1-( 1 4 )n-′1]

1- 1 4

-(3n-2)(

1

4

)n+1
=

1

2

-(

1

4

)n-(3n-2)(

1

4

)n+1，
所以S_n=

2

3

-

3n+2

3

•(

1

4

)n，
（3）由（2）得，c_n=(3n-2)(

1

4

)n，
c_n+1-c_n=(3n+1)(

1

4

)n+1-(3n-2)(

1

4

)n=9(1-n)×(

1

4

)n+1，
所以当n=1时，c₂=c₁=

1

4

，
当n≥2时，c₂=c₁＞c₃＞c₄＞c₅＞…＞c_n，
则当n=1或2时，c_n的最大值是

1

4

，
因为c_n≤

1

4

m²+m-1对一切正整数n恒成立，
所以

1

4

≤

1

4

m²+m-1，即m²+4m-5≥0，解得m≥1或m≤-5，
故实数m的取值范围是m≥1或m≤-5．

点评：本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式，数列的前n项和的求法：错位相减法，以及数列的函数特性，利用作差法判断出数列的单调性也是常用的方法．