Question

已知a＞0且a≠1，函数f （x）=

(a-1)x+3a-4，x≤0 ax，x＞0

，满足对任意实数x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x2-x1

＜0成立，则a的取值范围是（　　）

• A、（0，1）
• B、（1，+∞）
• C、（1，

  5

  3

  ]
• D、[

  5

  3

  ，2）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意可知f（x）在R上为增函数，对各段考虑即有a-1＞0，即a＞1，①a＞1，②注意x=0，有（a-1）×0+3a-4≤a⁰，即有a≤

5

3

③，求出三个的交集即可．

解答： 解：由于f（x）=

(a-1)x+3a-4，x≤0 ax，x＞0

，
又对任意实数x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，
则f（x）在R上为增函数．
当x≤0时，函数为增，则有a-1＞0，即a＞1，①
当x＞0时，函数为增，则有a＞1，②
由在R上为增函数，则（a-1）×0+3a-4≤a⁰，即有a≤

5

3

③，
由①②③可得a的取值范围为：1＜a≤

5

3

．
故选C．

点评：本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性及运用，注意各段的单调性，以及分界点的情况，属于易错题和中档题．