Question

已知等差数列a_n是递增数列，且满足a₅=3，S₆=12．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）令，数列b_n的前n项和S_n，若存在整数t，使S_n≤t对任意自然数n∈N^*恒成立，求t的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₅=3，S₆=12列出关于首项和公关差的方程组，把其值代入通项公式即可．
（2）由a_n的通项公式得出b_n的通项公式，然后进行裂项，每一项都变成差的形式，相加可抵消，最后剩余两项，易于判断S_n小于哪一个整数．
解答：解：（1）根据题意：，解得，（3分）
故等差数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）•d=（6分）
（2）===（-），
S_n=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）]=[（1-）]=（1-）＜（12分）
∵t是整数，∴t的最小值是5．（15分）
点评：本题考查了等差数列的通项公式，数列求和的裂项法，求a_n有两种方法，一种是a_n=a_m+（n-m）d，另一种利用通项公式，求首项和公差；用裂项法求和时，注意项的形式，分子上是一个常数，分母上可分解成两个关于n的一次式相乘．