Question

【题目】如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，连接EF，A′B．

（1）求证：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′﹣EF﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF

则A'D⊥A'E，A'D⊥A'F

又A'E∩A'F=A'

∴A'D⊥平面A'EF

而EF平面A'EF，∴A'D⊥EF

（2）方法一：连接BD交EF于点G，连接A'G

∵在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，

∴BE=BF，DE=DF，

∴点G为EF的中点，

且BD⊥EF

∵正方形ABCD的边长为2，∴A'E=A'F=1，∴A'G⊥EF

∴∠A'GD为二面角A'﹣EF﹣D的平面角

由（1）可得A'D⊥A'G，

∴△A'DG为直角三角形

∵正方形ABCD的边长为2，

∴ ， ，

∴ ， ，

又A'D=2

∴

∴

∴二面角A'﹣EF﹣D的余弦值为

方法二：∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，

∴BE=BF=A'E=A'F=1，

∴

∴A'E2+A'F2=EF2，∴A'E⊥A'F

由（1）得A'D⊥平面A'EF，

∴分别以A'E，A'F，A'D为x，y，z轴建立如图所示的空间直角

坐标系A'﹣xyz，

则A'（0，0，0），E（1，0，0），F（0，1，0），D（0，0，2）

∴ ， ，

设平面DEF的一个法向量为 ，则由 ，

可取

又平面A'EF的一个法向量可取

∴

∴二面角A'﹣EF﹣D的余弦值为 ．

【解析】（1）根据平面图形折叠后的不变量可得A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，然后利用线面垂直的判定得到线面垂直，从而得到线线垂直；（2）由题意可得BE=BF，DE=DF，连结BD交EF于点G，连接A'G，则可证明∠A'GD为二面角A'﹣EF﹣D的平面角，然后利用解直角三角形即可得到答案．
【考点精析】利用直线与平面垂直的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知垂直于同一个平面的两条直线平行．