[题目]设F1 . F为椭圆C1: =1.(a1＞b1＞0)与双曲线C2的公共左.右焦点.它们在第一象限内交于点M.△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形.且|MF1|=2.若椭圆C1的离心率e∈[ . ].则双曲线C2的离心率的取值范围是( )A.[ . ]B.[ .++∞)C.(1.4]D.[ .4] 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】设F1 ， F为椭圆C1： =1，（a1＞b1＞0）与双曲线C2的公共左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率e∈[ ， ]，则双曲线C2的离心率的取值范围是（）
A.[ ， ]
B.[ ，++∞）
C.（1，4]
D.[ ，4]

【答案】D
【解析】解：如图所示，设双曲线C2的离心率为e1 ．
椭圆与双曲线的半焦距为c．
由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．
由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1 ，即a﹣2c=a1 ，
∴ ﹣2= ，
∵e∈[ ， ]，∴ ∈[ ， ]，
∴ ∈[ ， ]．
∴e1∈[ ，4]．
故选：D．

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