Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=-f（x），且当x∈[-1，0]时，f（x）=2^x，则f（2013）=

 

．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：首先根据题意，求出f（x）是周期等于4的周期函数；然后把求f（2013）的值转化成求f（-1）的值，代入函数的解析式，求解即可．

解答： 解：函数f（x）对于任意的x∈R都有f（x-2）=-f（x），
所以f（x+2-2）=-f（x+2）=-f（x+4-2）=f（x+4），
即f（x）=f（x+4），
故f（x）是周期等于4的周期函数，
可得f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（-1）=2^-1=

1

2

，
即f（2013）=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题主要考查了函数的周期性和奇偶性的运用，属于基础题，解答此题的关键是首先求出f（x）是周期等于4的周期函数．