Question

设命题P：函数f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定义域为R；命题q：不等式3^x-9^x＜a对一切实数均成立，若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：复合命题的真假,函数的定义域及其求法,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：对于命题P：函数f（x）=lg（ax²-x+

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a），分类讨论：当a=0时，直接验证；当a≠0时，函数f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定义域为R，则

a＞0 △=1- 1 4 a2＜0

，即可解得a的取值范围．对于命题q：不等式3^x-9^x＜a对一切实数均成立，可得a＞[3^x-9^x]_max，x∈R．利用二次函数的单调性即可得出．由于命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，可得p与q必然一真一假．

解答： 解：对于命题P：函数f（x）=lg（ax²-x+

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a），当a=0时，f（x）=lg（-x），其定义域不为R，应舍去；
当a≠0时，函数f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定义域为R，则

a＞0 △=1- 1 4 a2＜0

，解得a＞2．
命题q：不等式3^x-9^x＜a对一切实数均成立，∴a＞[3^x-9^x]_max，x∈R．
令g（x）=3^x-9^x，x∈R，则g(x)=-(3x-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

，∴a＞

1

4

．
∵命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，∴p与q必然一真一假．
当p真q假时，

a＞2 a≤ 1 4

，解得a∈∅；
当q真p假时，

a≤2 a＞ 1 4

，解得

1

4

＜a≤2
综上可得：实数a的取值范围为(

1

4

，2]．
故答案为：(

1

4

，2]．

点评：本题考查了对数函数与指数函数的单调性、二次函数的单调性、简易逻辑的有关知识，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．