Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记b_n= （n∈N*）
（1）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=b_2n-b_2n-1 （n∈N*），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有T_n＜；
（3）设数列{b_n}的前n项和为R_n，是否存在正整数k，使得R_k≥4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当n=1时，a₁=5S₁+1，∴a₁=-（1分）
又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，∴a_n+1-a_n=5a_n+1即=-
∴数列{a_n}是首项为a₁=-，公比为q=-的等比数列，（3分）
∴a_n=（-）ⁿ，b_n=（n∈N^* ）（5分）
（2）由（1）知b_n==4+得
c_n=b_2n-b_2n-1=+==＜=（7分）
又b₁=3，b₂=，∴c₁=，所以当n=1时，T₁＜，（8分）
当n≥2时，T_n＜+15（+++）=+15•＜+=＜（10分）
（3）不存在正整数k，使得R_K≥4K成立．（11分）
证明：由b_n=4+
∵b_2k-1+b_2k=8++=8+-=8-＜8（13分）
∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N^*）
∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-1+b_2m）＜8m=4n（14分）
当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N^*）
∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-3+b_2m-2）+b_2m-1＜8m-4=4n
∴Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-3+b2m-2）+b2m-1＜8（m-1）+4=8m-4=4n（15分）
∴对于一切的正整数n，都有R_n＜4n
∴不存在正整数k，使得R_K≥4K成立．（16分）
分析：（1）令n等于1代入a_n=5S_n+1中，即可求出首项a₁，然后把n换为n+1，利用a_n=5S_n+1表示出a_n+1，两个式子相减并利用S_n+1-S_n=a_n化简后即可得到 的值即为公比，得到此数列为等比数列，然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可，因而可得出b_n的通项公式；
（2）根据b_n的通项公式，计算出cn的通项公式，再比较Tn与 的大小；
（3）根据b_n的通项公式，算出的前n项和为R_n，再计算出是否存在正整数k．
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求出，会确定一个数列为等比数列，考查数列递推式的求解及相关计算．是一道综合题．