Question

在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为

x=3t+1 y=4t+3

（t为参数）．
（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）根据ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ把圆C的极坐标方程，由消元法把直线l的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）根据直线l与圆C有公共点的几何条件，建立关于a的不等式关系，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）由

x=3t+1 y=4t+3

得，

x-1 3 =t y-3 4 =t

，则

x-1

3

=

y-3

4

，
∴直线l的普通方程为：4x-3y+5=0，…（2分）
由ρ=2acosθ得，ρ²=2aρcosθ
又∵ρ²=x²+y²，ρcosθ=x
∴圆C的标准方程为（x-a）²+y²=a²，…（5分）
（Ⅱ）∵直线l与圆C恒有公共点，∴

|4a+5|

42+(-3)2

≤|a|，…（7分）
两边平方得9a²-40a-25≥0，∴（9a+5）（a-5）≥0
∴a的取值范围是a≤-

5

9

或a≥5．…（10分）

点评：本题主要考查学生会将曲线的极坐标方程及直线的参数方程转化为普通方程，运用几何法解决直线和圆的方程的问题，属于基础题．