Question

7．已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n-1（n∈N⁺），a₁=2．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和S_n（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对a_n+1=2a_n-1（n∈N⁺）变形可知数列{a_n-1}是首项为1、公比为2的等比数列，进而可得结论；
（Ⅱ）通过a_n=2^n-1+1可知na_n=n•2^n-1+n，利用错位相减法计算即得结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n+1=2a_n-1（n∈N⁺），
∴a_n+1-1=2（a_n-1）（n∈N⁺），
又∵a₁-1=2-1=1，
∴数列{a_n-1}是首项为1、公比为2的等比数列，
∴a_n-1=1•2^n-1=2^n-1，
∴a_n=2^n-1+1；
（Ⅱ）解：∵a_n=2^n-1+1，
∴na_n=n•2^n-1+n，
设T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，
∴2T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
两式相减得：-T_n=（1+2¹+2²+2³+…+2^n-1）-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1，
∴S_n=T_n+$\frac{n（n+1）}{2}$=（n-1）•2ⁿ+1+$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查等比数列的判定，考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．