Question

12．三角形ABC满足，|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|，点M为边BC的中点，且|$\overrightarrow{AM}$|=4，$\overrightarrow{AM}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$=0，则边AC的长度为（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 8$\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 根据平面向量的加减法的几何意义分析以AB，AC为邻边的平行四边形的形状，求AC．

解答 解：由三角形ABC满足，|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|，
根据平行四边形法则，可知以AB，AC为邻边的平行四边形对角线相等，所以是矩形，
又点M为边BC的中点，且|$\overrightarrow{AM}$|=4，$\overrightarrow{AM}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$=0，所以得到对角线垂直，
所以AC=$\sqrt{2}$AM=4$\sqrt{2}$；
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的加法和减法的几何意义以及数量积为0的几何意义的运用．