Question

已知

e1

、

e2

满足|

e1

|=2，|

e2

|=1，且

e1

、

e2

的夹角为60°，设向量2t

e1

+7

e2

与向量

e1

+t

e2

的夹角为θ（t∈R）．
（1）若θ=90°，求实数t的值；
（2）若θ∈（90°，180°），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积的定义可得

e1

•

e2

=1，当θ=90°时，根据（2t

e1

+7

e2

）•（

e1

+t

e2

）=0求出t的值．
（2）若θ∈（90°，180°），则有 cosθ＜0，且 cosθ≠-1，即  2t²+15t+7＜0，且 

2t≠-k 7≠-kt

，由此求得实数t的取值范围．

解答：解：（1）由题意可得

e1

•

e2

=2×1×cos60°=1，当θ=90°时，（2t

e1

+7

e2

）⊥（

e1

+t

e2

），
∴（2t

e1

+7

e2

）•（

e1

+t

e2

）=2t

e1

2+（2t²+7）

e1

•

e2

+7t

e2

2=8t+（2t²+7）+7t=2t²+15t+7=0，
解得 t=-

1

2

，或t=-7．
（2）若θ∈（90°，180°），则有 cosθ＜0，且 cosθ≠-1． 
∵|2t

e1

+7

e2

|=

(2t e1 +7 e2 )2

=

16t2+28t+49

，
|

e1

+t

e2

|=

( e1 +t e2 )2

=

4+2t+t2

，
而cosθ=

(2t e1 +7 e2 ) •( e1 +t e2 )

|2t e1 +7 e2 |• |e1 +t e2 |

=

2t2+15t+7

16t2+28t+49 • 4+2t+t2

＜0，
且2t

e1

+7

e2

≠-k•（

e1

+t

e2

）
∴2t²+15t+7＜0，且 

2t≠-k 7≠-kt

．
解得 -7＜t＜-

1

2

 且t=±

14

2

，
故实数t的取值范围为{t|-7＜t＜-

1

2

，且 t≠-

14

2

}．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用，注意排除两个向量的夹角等于180°的情况，这是解题的易错点，属于中档题．