Question

如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，SA⊥平面ABCD，且AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AD=2，AB=AS=

2

．
（Ⅰ）求证：SB⊥BC；
（Ⅱ）求点A到平面SBC的距离；
（Ⅲ）求面SAB与面SCD所成二面角的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由线面垂直得SA⊥BC，从而得到BC⊥平面SAB，由此能证明SB⊥BC．
（2）以A为原点，以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A到平面SBC的距离．
（Ⅲ）求出平面SAD的法向量和平面SAB的法向量利用向量法能求出面SAB与面SCD所成二面角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，
又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，
又SB?平面SAB，∴SB⊥BC．
（2）解：以A为原点，以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得S（0，0，

2

），A（0，0，0），
B（0，

2

，0），C（2，

2

，0），D（0，0，1），

SB

=(0，

2

，-

2

)，

BC

=(2，0，0)，
设平面SBC的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • SB = 2 y- 2 z=0 m • BC =2x=0

，取y=1，得

m

=(0，1，1)，

AB

=(0，

2

，0)，
∴点A到平面SBC的距离d=

| m • AB |

| m |

=

| 2 |

2

=1．
（Ⅲ）解：

SD

=（1，0，

2

），

SC

=(2，

2

，-

2

)，
设平面SAD的法向量

n

=(a，b，c)，
则

n • SD =a+ 2 c=0 n • SC =2a+ 2 b- 2 c=0

，令c=1，得

n

=(

2

，-1，1)，
又平面SAB的法向量

p

=(1，0，0)，
∴cos＜

n

，

p

＞=

2

2

，
∴面SAB与面SCD所成二面角的大小为45°．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．