Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=x²+bx(a≠0).

(1)若a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;

(2)在(1)的结论下,设函数φ(x)=e^2x+be^x,x∈［0,ln2］,求函数φ(x)的最小值;

(3)设函数f(x)的图象C₁与函数g(x)的图象C₂交于P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N,问是否存在点R,使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解:(1)依题意:h(x)=lnx+x²-bx.∵h(x)在(0,+∞)上是增函数,

∴h(x)=+2x-b≥0对x∈(0,+∞)恒成立.

∴b≤+2x.∵x＞0,则+2x≥2.∴b的取值范围为(-∞,2］.

(2)设t=e^x,则函数化为y=t²+bt,t∈［1,2］.∵y=(t+)²,

∴当≤1,即-2≤b≤2时,函数y在［1,2］上为增函数.

当t=1时,y_min=b+1.

当1＜＜2,即-4＜b＜-2时,当t=时,y_min=;

当≥2,即b≤-4时,函数y在［1,2］上为减函数,

当t=2时,y_min=4+2b.

综上所述,当-2≤b≤2时,φ(x)的最小值为b+1.

当-4＜b＜-2时,φ(x)的最小值为.当b≤-4时,φ(x)的最小值为4+2b.

(3)设点P、Q的坐标是(x₁,y₁),(x₂,y₂),且0＜x₁＜x₂.

则点M、N的横坐标为x=.C₁在点M处的切线斜率为k₁=.

C₂在点N处的切线斜率为k₂=+b.

假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行,则k₁=k₂,

即=+b.则=+b(x₂-x₁)

=(x₂²+bx₂)-(x₁²+bx₁)=y₂-y₁=lnx₂-lnx₁=ln.∴ln==.

设u=＞1,则lnu=,u＞1.①

令r(u)=lnu,u＞1.则r′(u)=.∵u＞1,∴r′(u)＞0.

∴r(u)在［1,+∞)上单调递增,故r(u)＞r(1)=0.

则lnu＞.这与①矛盾,假设不成立.

故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.