Question

15．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={x∈U|x²-5qx+4=0，q∈R}．
（1）若∁_UA=U，求q的取值范围；
（2）若∁_UA中有四个元素，求∁_UA和q的值．

Answer 1

分析 （1）若∁_UA=U，则A=∅，根据一元二次方程根的关系即可求q的取值范围；
（2）若∁_UA中有四个元素，则等价为A为单元素集合，然后进行求解即可．

解答 解：（1）∵∁_UA=U，
∴A=∅，即方程x²-5qx+4=0无解，或方程x²-5qx+4=0的解不在U中．
∴△=25q²-16＜0，∴$-\frac{4}{5}$＜q＜$\frac{4}{5}$，
若方程x²-5qx+4=0的解不在U中，
此时满足判别式△=25q²-16≥0，即p≥$\frac{4}{5}$或p≤-$\frac{4}{5}$，
由1²-5q•1+4≠0得q≠1；
由2²-5q•2+4≠0得q≠$\frac{4}{5}$；
同理，由3、4、5不是方程的根，依次可得q≠$\frac{13}{15}$，q≠1，q≠$\frac{29}{25}$；
综上可得所求范围是{q|q∈R，且q≠$\frac{13}{15}$，q≠1，q≠$\frac{29}{25}$}．
（2）∵∁_UA中有四个元素，∴A为单元素集合，则△=25q²-16=0，
即q=±$\frac{4}{5}$，
当A={1}时，q=1，不满足条件．；
当A={2}时，q=$\frac{4}{5}$，满足条件．；
当A={3}时，q=$\frac{13}{15}$，不满足条件．；
当A={4}时，q=1，不满足条件．；
当A={5}时，q=$\frac{29}{25}$，不满足条件．，
∴q=$\frac{4}{5}$，此时A={2}，
对应的∁_UA={1，3，4，5}．

点评 本题主要考查集合的基本运算，结合一元二次方程根的关系是解决本题的关键．