Question

已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e^x－1)(x－1)^k(k＝1,2)，则(　　)

A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值

B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值

C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值

D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值

Answer 1

C

[解析]　本题考查函数零点的判断及函数的极值．

①当k＝1时，f(x)＝(e^x－1)(x－1)，此时f ′(x)＝e^x(x－1)＋(e^x－1)＝e^x·x－1，∴A、B项均错．

②当k＝2时，f(x)＝(e^x－1)(x－1)²

此时f ′(x)＝e^x(x－1)²＋(2x－2)(e^x－1)

＝e^x·x²－2x－e^x＋2＝e^x(x＋1)(x－1)－2(x－1)

＝(x－1)[e^x(x＋1)－2]，

易知g(x)＝e^x(x＋1)－2的零点介于0,1之间，不妨设为x₀，则有

x	(－∞，x0)	x0	(x0,1)	1	(1，＋∞)
f ′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		极大值	↘	极小值	