Question

10．某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800m³，深为3m．如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为150元，怎么设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少？

Answer 1

分析 由水池的容积和高度求出底面积，一边长为x，用底面积除以x得另一边长．然后由矩形面积公式求出底面和侧面的面积，分别乘以造价作和后得总造价；利用基本不等式求函数的最值．

解答 解：水池容积为4800m³，深为3m，则底面积为1600m²，
水池底面一边的长度为x米，则另一边的长度为$\frac{1600}{x}$m．
水池的总造价等于池底造价120×1600与池壁造价150（6x+6×$\frac{1600}{x}$）的和．
即y=192000+900（x+$\frac{1600}{x}$）（x＞0）．
y≥192000+900×2$\sqrt{x•\frac{1600}{x}}$
=192000+900×2×40=264000．
当x=$\frac{1600}{x}$即x=40时，y有最小值264000．
因此，当水池是底面边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是264000元．

点评 本题考查了函数模型的选择与应用，考查了简单的建模思想方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是中档题．