【题目】2019年4月23日“世界读书日”来临之际,某校为了了解中学生课外阅读情况,随机抽取了100名学生,并获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,按阅读时间分组:第一组[0,5), 第二组[5,10),第三组[10,15),第四组[15,20),第五组[20,25],绘制了频率分布直方图如下图所示。已知第三组的频数是第五组频数的3倍。
(1)求的值,并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值;
(2)现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”。经过比赛后,从这6人中随机挑选2人组成该校代表队,求这2人来自不同组别的概率。
【答案】(1)a=0.06,平均值为12.25小时 (2)
【解析】
(1)由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和,第三组的频率,由此能求出a和该样本数据的平均数,从而可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值;
(2)从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1,设为A,B,C,D,E,F,利用列举法能求出从该6人中选拔2人,从而得到这2人来自不同组别的概率.
(1)由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为
,
第三组的频率为
∴
该样本数据的平均数
所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为小时。
(2)易得从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1,
设为,则从该6人中选拔2人的基本事件有:
共15种,
其中来自不同的组别的基本事件有:
,
共11种,
∴这2人来自不同组别的概率为.
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【题目】在平面直角坐标系中中,直线
,圆
的参数方程为
为参数),以坐标原点为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求直线和圆
的极坐标方程;
(2)若直线与圆
交于
两点,且
的面积是
,求实数
的值.
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【题目】从某工厂生产线上随机抽取16件零件,测量其内径数据从小到大依次排列如下:1.12,1.25,1.21,1.23,1.25,1.25,1.26,1.30,1.30,1.32,1.34,1.35,1.37,1.38,1.41,1.42.据此可估计该生产线上大约有25%的零件内径小于等于___________㎜,大约有30%的零件内径大于___________mm(单位:mm).
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)若时,求
与
的交点坐标;
(2)若上的点到
距离的最大值为
,求
.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AD∥BC,CD⊥BC,AD=2,AB=BC=3,PA=4,M为AD的中点,N为PC上一点,且PC=3PN.
(1)求证:MN∥平面PAB;
(2)求二面角PANM的余弦值.
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【题目】设函数f (x)=ln x-x+1.
(1)讨论函数f (x)的单调性;
(2)证明当x∈(1,+∞)时, ;
(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
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【题目】若函数满足(1)对于定义域上的任意
,恒有
;(2)对于定义域上的任意
当
时,恒有
,则称函数
为“理想函数”,给出下列四个函数中:①
; ②
;③
;④
,则被称为“理想函数”的有( )
A.①B.②④C.③D.④
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【题目】某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0),函数图象如图所示.
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?
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