Question

【题目】如图1,在直角梯形中，，，，将沿折起,使平面平面，得到几何体，如图2所示，

（1）求证：平面；

（2）求几何体的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由题中数量关系和勾股定理，得出AC⊥BC，再证BC垂直与平面ACD中的一条直线即可，△ADC是等腰Rt△，底边上的中线OD垂直底边，由面面垂直的性质得OD⊥平面ABC，所以OD⊥BC，从而证得BC⊥平面ACD；

（2）由高和底面积，求得三棱锥B﹣ACD的体积即是几何体D﹣ABC的体积．

（1）在图1中，△ADC是等腰Rt△，且，可得，

在中由余弦定理可得

从而，故，

取中点连结，则，又面面，

面面，且面，从而平面，

∴，又，，∴平面.

(2) 由（1）可知为三棱锥的高，，得，

所以，

由等体积性可知几何体的体积为.