Question

【题目】数列{an}的前n项和为Sn，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3．

（1）求a1的值；

（2）求{an}的通项公式：

（3）设bn=，求数列{bn}的前n项和．

Answer 1

【答案】（1）3（2）an=2n+1．（3）

【解答】解：（1）令n=1可得：a12+2a1=4a1+3，解得a1=3或a1=﹣1（舍）．

（2）∵an2+2an=4Sn+3，∴an﹣12+2an﹣1=4Sn﹣1+3（n≥2），

两式相减得：an2﹣an﹣12+2（an﹣an﹣1）=4an，即（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）=2（an+an﹣1），

∴an﹣an﹣1=2，

∴{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列，

∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．

（3）bn==（），

∴数列{bn}的前n项和（++…+）=（）=．

【解析】

试题分析:（1）令n=1可解得a1的值；（2）利用和项与通项关系得递推关系式an﹣an﹣1=2，再根据等差数列定义及通项公式可得结论（3）因为 ，所以利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和．

试题解析:解：（1）令n=1可得：a12+2a1=4a1+3，解得a1=3或a1=﹣1（舍）．

（2）∵an2+2an=4Sn+3，∴an﹣12+2an﹣1=4Sn﹣1+3（n≥2），

两式相减得：an2﹣an﹣12+2（an﹣an﹣1）=4an，即（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）=2（an+an﹣1），

∴an﹣an﹣1=2，

∴{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列，

∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．

（3）bn==（），

∴数列{bn}的前n项和（++…+）=（）=．