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    设x,y,z>0,x+y+z=3,依次证明下列不等式,

    (1)(2-)≤1.

    (2)≥.

    (3)++≥2.

     

    见解析

    【解析】证明：(1)由(2-)=-[()2-2+1]+1=-(-1)2+1≤1,

    得(2-)≤1.

    当且仅当xy=1时取等号.

    (2)≥

    =,

    因为2+≤2+,且由(1)知(2-)≤1,

    当且仅当x=y=1时取等号.

    所以≥=①.

    (3)同理可得≥②,

    ≥③,

    由柯西不等式得(++)(a+b+c)≥9,

    对于a,b,c>0,++≥④,

    利用不等式④,

    由①,②,③及已知条件x + y + z =3得

    ++≥++≥==2.

     

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