Question

已知a、b、c∈R且a＜b＜c，函数f（x）=ax²+2bx+c满足f（1）=0，且关于t的方程f（t）=-a有实根（其中t∈R且t≠1）．
（1）求证：a＜0，c＞0；
（2）求证：0≤＜1．

Answer 1

证明：（1）∵f（x）=ax²+2bx+c，
∴f（1）=a+2b+c=0 ①．
又a＜b＜c，∴2a＜2b＜2c，∴4a＜a+2b+c＜4c，
即4a＜0＜4c，所以a＜0，c＞0．
（2）由f（1）=a+2b+c=0，得c=-a-2b，又a＜b＜c及a＜0，得 ②．
将c=-a-2b代入f（t）=at²+2bt+c=-a，得at²+2bt-2b=0．
因为关于t的方程at²+2bt-2b=0有实根，所以△=4b²+8ab≥0，
即≥0，解得≤-2或≥0 ③．由②、③知．
分析：（1）由已知中a＜b＜c，函数f（x）=ax²+2bx+c满足f（1）=0，我们根据不等式的基本性质可得4a＜0＜4c，进而可得a＜0，c＞0；
（2）结合f（1）=0可得，结合关于t的方程f（t）=-a有实根可得≤-2或≥0，综合可得0≤＜1．
点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据已知构造关于a，b，c的不等式（组）是解答本题的关键．