Question

已知函数f（x）=x+

2a2

x

+alnx．
（I）求f（x）的单调递增区间；
（II）设a=1，g（x）=f′（x），问是否存在实数k，使得函数g（x）（均的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据负数没有对数求出f（x）的定义域，然后求出f（x）的导函数，分a=0，a大于0和a小于0三种情况令导函数大于0，求出相应的x的解，即可单调f（x）的单调递增区间；
（II）把a=1代入f（x）的导函数确定出g（x），假设存在实数k，使得g（x）的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k，可设在定义域内任意的两个自变量x，利用斜率的计算方法表示出斜率，并大于等于k，去分母变形，然后设h（x）=g（x）-kx，求出h（x）的导函数，解出k小于等于一个函数恒成立，令t=

1

x

，设这个函数为F（t），求出F（t）的导函数，令导函数等于0，求出相应的t的值，在定义域内由t的值讨论导函数的正负进而得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最小值，让k小于等于求出的最小值即可得到k的取值范围．

解答：解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=x+

2a2

x

+alnx，∴f′（x）=1-

2a2

x2

+

a

x

=

(x+2a)(x-a)

x2

，
当a=0时，f′（x）=1＞0，所以f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，由f′（x）＞0，即

(x+2a)(x-a)

x2

＞0，解得x＞a，所以f（x）的单调递增区间是（a，+∞）；
当a＜0时，由f′（x）＞0，即

(x+2a)(x-a)

x2

＞0，解得x＞-2a，所以f（x）的单调递增区间是（-2a，+∞）．
（II）当a=1时，g（x）=1-

2

x2

+

1

x

，假设存在实数k，使得g（x）的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k，
即对任意x₂＞x₁＞0，都有

g(x2)-g( x1)

x2-x1

≥k，亦即g（x₂）-kx₂≥g（x₁）-kx₁，
可设函数h（x）=g（x）-kx=1-

2

x2

+

1

x

-kx（x＞0），
故问题等价于h′（x）=

4

x3

-

1

x2

-k≥0，即k≤

4

x3

-

1

x2

对x＞0恒成立，
令t=

1

x

，则F（t）=4t³-t²（t＞0），所以F′（t）=12t²-2t，
令F′（t）=0，解得t=0（舍去）或t=

1

6

，
当t变化时，F（t）与F′（t）的变化情况如下表：

故知F（t）在（0，

1

6

）内单调递减，在（

1

6

，+∞）内单调递增，
所以当t=

1

6

时，F（t）取得最小值，且最小值为-

1

108

，
∴当x＞0时，F（

1

x

）=

4

x3

-

1

x2

≥-

1

108

，当且仅当x=6时取等号，
故k的取值范围是（-∞，-

1

108

]．

点评：本题考查函数、导数等基础知识，考查了推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查了函数与方程的思想、化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想，是一道中档题．