Question

已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＜0，f（1）=5．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）在区间[-2，3]上的值域．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）赋值法，令令x=y=0，求得f（0）=0，令y=-x得f（-x）=-f（x），故函数f（x）为奇函数；
（2）利用定义判断函数的单调性，继而求出值域．

解答： 解：（1）令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，
令y=-x得，f（0）=f（x）+f（-x），所以f（-x）=-f（x），
所以，函数f（x）为奇函数；
（2）设x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，所以f（x₁-x₂）＜0，
则f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
所以函数f（x）为增函数；
由f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=10得，f（-2）=-10，f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=10+5=15
所以函数f（x）区间[-2，3]上的值域为[-10，15]．

点评：本题考查了抽象函数的应用，赋值法式常用的方法，属于基础题．