Question

已知数列{a_n}的首项a₁=

2

3

，且

1

an+1

=

1

2an

+

1

2

（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：{

1

an

-1}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{

n

an

-n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，又

1

a1

-1=

1

2

，由此能证明数列{

1

an

-1}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
（Ⅱ）由

n

an

-n=

n

2n

，利用错位相减法能求出数列{

n

an

-n}的前n项和．

解答： （Ⅰ）证明：∵数列{a_n}的首项a₁=

2

3

，且

1

an+1

=

1

2an

+

1

2

（n∈N^*），
∴

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，又

1

a1

-1=

1

2

，
∴数列{

1

an

-1}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得

1

an

-1=(

1

2

)n，
∴

n

an

-n=

n

2n

，
设数列{

n

an

-n}的前n项和为S_n，
则Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

，
∴Sn=2-

n+2

2n

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．