Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，f（2）=1，对于一切x，y∈R⁺满足f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）和f（4）的值；
（2）求不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=1，求出f（1）；令x=y=2，可求出f（4）；
（2）将不等式f（x）+f（x-3）≤2转化为f（x（x-3））≤f（4），运用函数的单调性，即可求出解集．

解答： 解：（1）由于f（2）=1，对于一切x，y∈R⁺，都有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，则f（1）=2f（1），即f（1）=0，
令x=y=2，则f（4）=2f（2）=2；
（2）不等式f（x）+f（x-3）≤2即f（x）+f（x-3）≤f（4），即f（x（x-3））≤f（4），
∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≤4

即

x＞0 x＞3 -1≤x≤4

即3＜x≤4，解集为（3，4]．

点评：本题考查函数的单调性及运用，注意定义域的运用，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．