Question

已知函数f（x）=|x+1|+|x-3|
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＞|a-1|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据绝对值的意义，数轴上的-2和4对应点到-1、3对应点的距离之和正好等于6，从而求得f（x）≤6的解集．
（2）由绝对值的意义可得，f（x）的最小值为4，再由 4＞|a-1|，求得a的范围．

解答： 解：（1）由绝对值的意义可得函数f（x）=|x+1|+|x-3|表示数轴上的x对应点到-1、3对应点的距离之和，
而-2和4对应点到-1、3对应点的距离之和正好等于6，
故不等式f（x）≤6的解集为[-2，4]．
（2）由绝对值的意义可得，f（x）的最小值为4，再根据关于x的不等式f（x）＞|a-1|恒成立，
可得 4＞|a-1|，-4＜a-1＜4，解得-3＜a＜5，
故要求的a的范围是（-3，5）．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．