Question

20．（文科）数列{a_n}满足a₁=3，a_n-a_na_n+1=1，A_n表示{a_n}的前n项之积，则A₂₀₁₀等于1．

Answer 1

分析 a₁=3，a_n-a_na_n+1=1，可得a₁-a₁a₂=1，解得a₂=$\frac{2}{3}$，同理可得：a₃=-$\frac{1}{2}$，a₄=3，因此a_n+3=a₃，a₁a₂a₃=-1．利用其周期性即可得出．

解答 解：∵a₁=3，a_n-a_na_n+1=1，
∴a₁-a₁a₂=1，解得a₂=$\frac{2}{3}$，
同理可得：a₃=-$\frac{1}{2}$，a₄=3，
∴a_n+3=a₃，a₁a₂a₃=-1．
∴A₂₀₁₀=A_670×3=$（{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}）^{670}$=（-1）⁶⁷⁰=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．