【题目】如图,已知椭圆,过动点M(0,m)的直线交x轴于点N,交椭圆C于A,P(其中P在第一象限,N在椭圆内),且M是线段PN的中点,点P关于x轴的对称点为Q,延长QM交C于点B,记直线PM,QM的斜率分别为k1,k2.
(1)当时,求k2的值;
(2)当时,求直线AB斜率的最小值.
【答案】(1)k2=1(2)最小值为1.
【解析】
(1)设P(x0,y0),(x0>0,y0>0),M(0,m),计算得到,得到答案.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA的方程为y=kx+m,(k>0),联立方程计算得到,代入数据利用均值不等式计算得到答案.
(1)设P(x0,y0),(x0>0,y0>0),M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,﹣2m).
所以直线PM的斜率;直线QM的斜率;
此时.当时k2=1;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
直线PA的方程为y=kx+m,(k>0)
由,得(1+3k2)x2+6kmx+3m2﹣3=0
,即;
所以;
直线QB的方程为y=﹣3kx+m.
同理有:,,
2,
当且仅当,即时取等号;
故直线AB 的斜率的最小值为1.
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【题目】已知椭圆C:1左右焦点为F1,F2直线(1)xy0与该椭圆有一个公共点在y轴上,另一个公共点的坐标为(m,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆C上任一点,过焦点F1,F2的弦分别为PM,PN,设λ1λ2,求λ1+λ2的值.
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【题目】某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐,为了解通话时长,采用随机抽样的方法,得到该校100位班主任每人的月平均通话时长(单位:分钟)的数据,其频率分布直方图如图所示,将频率视为概率.
(1)求图中的值;
(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数;
(3)在,这两组中采用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求抽取的2人恰在同一组的概率.
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【题目】已知椭圆E:,点A,B分别是椭圆E的左顶点和上顶点,直线AB与圆C:x2+y2=c2相离,其中c是椭圆的半焦距,P是直线AB上一动点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为M,N,若存在点P使得△PMN是等腰直角三角形,则椭圆离心率平方e2的取值范围是_____.
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【题目】如图,在四棱锥中,,,,且,.
(1)证明:平面;
(2)在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为?如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】在平面角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,将曲线向左平移个单位长度得到曲线.
(1)求曲线的参数方程;
(2)已知为曲线上的动点, 两点的极坐标分别为,求的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=|2x-1|+|x+m|.
(l)当m=l时,解不等式f(x)≥3;
(2)证明:对任意x∈R,2f(x)≥|m+1|-|m|.
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【题目】为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内,某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测,每天检测4次:每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布.
(1)假设生产状态正常,记表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在之外的药品件数,求(精确到0.001)及的数学期望;
(2)在一天内四次检测中,如果有一次出现了主要药理成分含量在之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对本次的生产过程进行检查;如果在一天中,有连续两次检测出现了主要药理成分含量在之外的药品,则需停止生产并对原材料进行检测.
①下面是检验员在某一次抽取的20件药品的主要药理成分含量:
10.02 | 9.78 | 10.04 | 9.92 | 10.14 | 10.04 | 9.22 | 10.13 | 9.91 | 9.95 |
10.09 | 9.96 | 9.88 | 10.01 | 9.98 | 9.95 | 10.05 | 10.05 | 9.96 | 10.12 |
经计算得,.其中为抽取的第件药品的主要药理成分含量,.用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查?
②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率(精确到0.001).附:若随机变量Z服从正态分布,则,
.
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