Question

【题目】已知椭圆E：，点A，B分别是椭圆E的左顶点和上顶点，直线AB与圆C：x2+y2＝c2相离，其中c是椭圆的半焦距，P是直线AB上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，若存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，则椭圆离心率平方e2的取值范围是_____．

Answer 1

【答案】[，）．

【解析】

根据直线和圆相离得到a2b2＞c2（a2+b2），根据等腰三角形得到2e4﹣5e2+1≤0，计算得到答案.

AB所在直线方程为，即bx﹣ay+ab＝0，

又直线AB与圆C：x2+y2＝c2相离，∴c，

即a2b2＞c2（a2+b2），∴a2（a2﹣c2）＞c2（2a2﹣c2），

整理得：e4﹣3e2+1＞0，解得0＜e2；

又存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，

则在Rt△OPN中，OPONc，

∴，即a2b2≤2c2（a2+b2），

∴a2（a2﹣c2）≤2c2（2a2﹣c2），

整理得2e4﹣5e2+1≤0，解得e2＜1．

∴e2的取值范围是[，）．

故答案为：[，）.