Question

【题目】如图，四棱锥中，底面ABCD，，，．

Ⅰ求证：平面PAC；

Ⅱ若侧棱PC上的点F满足，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】(1)见解析 (2)

【解析】

试题（1）由于可以证明要证明只需证明从而中的两条相交直线，（2）由（1）知为等腰三角形，面积容易求出，考虑以BCD为底面．F为顶点 的三棱锥，以及以BCD为底面，P为顶点的三棱锥面积容易求出，所以

试题解析：（1）证明：因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形,

又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC． 因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD．

从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直, 所以BD⊥平面PAC．

（2）解：三棱锥PBCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=×2×2×sin=．

由PA⊥底面ABCD,得=·S△BCD·PA=××2=2．

由PF=7FC,得三棱锥FBCD的高为PA,

故=·S△BCD·PA=×××2=,

所以=-=2-=．