Question

14．（1）已知命题p：|x²-x|≥6，q：x∈Z且“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值．
（2）已知p：x²-8x-20≤0，q：x²-2x+1-m²≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解绝对值不等式|x²-x|≥6，我们可以求出命题p成立时，x的取值范围，再由p且q与非q都是假命题，可得x应满足P假且q真，由此构造关于x的不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围；
（2）由绝对值不等式及一元二次不等式的解法，得到p，q的等价命题．又由￢p是￢q的必要而不充分条件的等价命题为：p是q的充分不必要条件，再由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，得到A、B的关系，进而得到m的取值范围．

解答 解：（1）∵非q是假，则q是真，
又∵P且q是假∴P假即非P真，
∴|x²-x|＜6，且x∈Z，
∴-6＜x²-x＜6且x∈Z，
即 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x＞-6}\\{{x}^{2}-x＜6}\\{x∈Z}\end{array}\right.$，
解之得：$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜3}\\{x∈Z}\end{array}\right.$，
∴x=-1，0，1，2；
（2）由题知，若?p是?q的必要不充分条件的等价命题为：p是q的充分不必要条件．
由x²-8x-20≤0，解得-2≤x≤10，
∴p：-2≤x≤10；
由x²-2x+1-m²≤0（m＞0），整理得[x-（1-m）][x-（1+m）]≤0  
解得 1-m≤x≤1+m，
∴q：1-m≤x≤1+m
又∵p是q的充分不必要条件
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m≤-2}\\{1+m≥10}\end{array}\right.$，∴m≥9，
∴实数m的取值范围是[9，+∞）．

点评 本题考查的判断充要条件的方法，但解题的关键是绝对值不等式及一元二次不等式的解法．我们可以根据充要条件的定义进行判断，也可根据命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A?B．